Question

已知直線y=kx-3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-

3

4

x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在x軸上以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度由拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q由點(diǎn)C沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)且速度是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度的2倍．

（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），試問當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將（4，0）代入一次函數(shù)解析式求出k即可，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線y=-

3

4

x²+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，求出即可；
（2）分別利用①若∠Q₁P₁A=90°，則P₁Q₁∥CO，②若∠Q₂P₂A=90°，求出t的值即可；
（3）過D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F，則S_△ADF=DF•AE，S_△CDF=DF•EO，由S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF求出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵直線y=kx-3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴0=4k-3，
解得：k=

3

4

，
∴直線解析式為y=

3

4

x-3，
由直線y=

3

4

x-3與y軸交于點(diǎn)C，可知C（0，-3），
∴-

3

4

×4²+4m-3=0，
解得m=

15

4

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

4

x²+

15

4

x-3；

（2）對(duì)于拋物線y=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
令y=0，則0=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，AO=4，CO=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t，
①若∠Q₁P₁A=90°，則P₁Q₁∥CO，
∴△AP₁Q₁∽△AOC，
∴

AP1

AO

=

AQ1

AC

，
∴

3-t

4

=

5-2t

5

，
解得：t=

5

3

；
②若∠Q₂P₂A=90°，∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△ACO，
∴

AP2

AC

=

AQ2

AO

，
∴

3-t

5

=

5-2t

4

，
解得：t=

13

6

；
綜上：當(dāng)t的值為

5

3

或

13

6

時(shí)，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似；

（3）存在，
如備用圖：過D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F，
∴S_△ADF=

1

2

DF•AE，S_△CDF=

1

2

DF•EO，
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF=

1

2

DF•（AE+EO）=

1

2

×4（DE+EF）=2×（-

3

4

x²+

15

4

x-3-

3

4

x-3）=-

3

2

x²+6x，
∴S_△ACD=-

3

2

（x-2）²+6（0＜x＜4），
又0＜2＜4且二次項(xiàng)系數(shù)-

3

2

＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_△ACD的面積最大，
而當(dāng)X=2時(shí)，y=

3

2

，
∴滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為D（2，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及三角形面積求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．