Question

【題目】如圖，在△ABC中，以BC為直徑的圓交AC于點D，∠ABD＝∠ACB.

(1)求證：AB是圓的切線；

(2)若點E是BC上一點，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）10.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)∠ABD＝∠ACB和∠ACB＋∠DBC＝ 90°可得∠ABC＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷AB是圓的切線；(2) 根據(jù)BE＝4 ,tan∠AEB＝先求出AB的長，再根據(jù)AB∶BC＝2∶3求出BC的長，即得直徑.

試題解析：(1)證明：∵BC是直徑，∴∠BDC＝90°,∴∠ACB＋∠DBC＝ 90°.

又∵∠ABD＝∠ACB,∴∠ABD＋∠DBC＝90°,∴AB⊥BC.

又∵點B在圓上，∴AB是圓的切線．

(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，∴＝，即AB＝BE＝×4＝．

∵AB∶BC＝2∶3，∴BC＝AB＝×＝10.

∴圓的直徑為10.