Question

已知△ABC，AB邊中點為D，E、F分別在AC、BC邊上運動，求證：S_△DEF≤S_△ADE+S_△BDF．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：證明題

分析：過點B作BG∥AC，交ED的延長線于點G，連接GF，易證△GBD≌△EAD，從而得到DG=DE，S_△BDG=S_△ADE．由DG=DE可得S_△DGF=S_△DEF．然后利用S_△DGF≤S_△BDG+S_△BDF就可解決問題．

解答：證明：過點B作BG∥AC，交ED的延長線與點G，連接GF，如圖所示．
∵BG∥AC，∴∠GBD=∠EAD．
在△GBD和△EAD中，

∠GBD=∠EAD BD=AD ∠BDG=∠ADE

．
∴△GBD≌△EAD（ASA），
∴DG=DE，S_△BDG=S_△ADE．
∵DG=DE，∴S_△DGF=S_△DEF．
∵S_△DGF≤S_△BDG+S_△BDF，
∴S_△DEF≤S_△ADE+S_△BDF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等積變換等知識，當條件中出現(xiàn)中點時，可通過添加平行線，構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)等量代換．