Question

如圖，設P為在第一象限的圖象上的任一點，點P關于y軸的對稱點為P′，連接P′P、P′O、OP．
（1）說明△POP′的面積永遠為定值4．
（2）當P點移動到P₁（x₁，y₁），點P₁關于y軸的對稱點為，使△為等邊三角形時，求OP₁所在直線的解析式；
（3）當P點移動到P₂（x₂，y₂），點P₂關于y軸的對稱點為，且y₂=時，求梯形P₁P₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P點作PH⊥x軸，如圖，設P點坐標為（x，y），易得S_△OPH=xy=2，根據對稱的性質得到S_△P′PO=2S_△OPH=4；
（2）過P₁作P₁A⊥x軸于A，由點P₁關于x軸的對稱點為P₁′，△為等邊三角形，得OP₁與y軸的夾角為30°，則∠AOP₁=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到P₁A=OA，這樣可設P₁的坐標為（x₁，x₁），直線OP₁的解析式為y=kx，然后把P₁的坐標代入可解得k=，從而確定OP₁所在直線的解析式；
（3）過P₁作P₁A⊥x軸于B，交P₂P₂′于C，根據P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=上，且y₂=，可得到x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，則P₁C=y₁-y₂=y₁，利用梯形的面積公式得到梯形P₁P₂的面積=（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C=（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）=•6x₁•y₁，把x₁•y₁=4代入計算即可．
解答：解：（1）過P點作PH⊥x軸，如圖，設P點坐標為（x，y），
∵y=，
∴xy=4，
∴S_△OPH=xy=2，
∵點P關于x軸的對稱點為P′，
∴S_△P′PO=2S_△OPH=4，
即△POP′的面積永遠為定值4；

（2）過P₁作P₁A⊥x軸于A，如圖，
∵點P₁關于x軸的對稱點為P₁′，△為等邊三角形，
∴OP₁與y軸的夾角為30°，
∴∠AOP₁=60°，
∴P₁A=OA，
設P₁的坐標為（x₁，x₁），直線OP₁的解析式為y=kx，
把P₁的坐標代入可解得k=，
∴OP₁所在直線的解析式為：y=x；


（3）過P₁作P₁B⊥x軸于B，交P₂P₂′于C，如圖，
∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y=上，且y₂=，
∴x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，
∴P₁C=y₁-y₂=y₁，
∴梯形P₁P₂的面積=（P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C
=（2x₁+2x₂）（y₁-y₂）
=•6x₁•y₁
=•x₁•y₁
=×4
=6．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：點在反比例函數圖形上，點的坐標滿足其解析式；點的坐標與線段之間的關系；對稱和等邊三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．