Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB所在直線的解析式為y=kx+2，頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的圖象上，若tan∠ADB=2．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸，根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB．易證△AED∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出ED、AE，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)（用k表示），同理可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)（用k表示），然后根據(jù)點(diǎn)D、C在反比例函數(shù)的圖象上得到關(guān)于k的方程，就可解決問題．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸，如圖所示．
∵點(diǎn)A、B是直線y=kx+2分別與y軸、x軸的交點(diǎn)，
∴A（0，2），B（-$\frac{2}{k}$，0），
∴OA=2，OB=-$\frac{2}{k}$．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC．
∵tan∠ADB=2，
∴$\frac{AB}{AD}$=2，$\frac{AB}{BC}$=2．
∵∠DEA=∠AOB=90°，∠EAD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△AED∽△BOA，
∴$\frac{ED}{OA}$=$\frac{AE}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴ED=1，AE=-$\frac{1}{k}$，
∴點(diǎn)D（1，2-$\frac{1}{k}$）．
同理：點(diǎn)C（1-$\frac{2}{k}$，-$\frac{1}{k}$）．
∵點(diǎn)C、D都在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的圖象上，
∴1×（2-$\frac{1}{k}$）=（1-$\frac{2}{k}$）•（-$\frac{1}{k}$），
∴k=±1．
∵k＜0，
∴k=-1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，構(gòu)造K型相似得到點(diǎn)D、C的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．