Question

18．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于點P．
（1）猜想四邊形PCOB是什么四邊形，并說明理由；
（2）當矩形ABCD滿足什么條件時，四邊形PCOB是正方形．

Answer 1

分析 （1）由BE∥AC，EC∥BD，得出四邊形OBEC是平行四邊形，再由矩形的性質得出OB=OC，即可得出結論；
（2）由正方形的判定方法即可得出結論．

解答 解：（1）四邊形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四邊形PCOB為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四邊形PCOB為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形）；
（2）當AC⊥BD時，四邊形PCOB是正方形；理由如下：
∵四邊形PCOB為菱形，AC⊥BD，
∴四邊形PCOB為正方形（有一個角為90°的菱形為正方形）．

點評 本題考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的性質；熟練掌握矩形的性質和正方形的判定方法，證明四邊形是菱形是解決問題的關鍵．