Question

如圖，已知過(guò)A（2，4）分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為M、N，若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)．
（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度為2？
（2）寫(xiě)出線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的平方y(tǒng)與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式和t的取值范圍；
（3）是否存在時(shí)間t，使P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似？若存在，求出此時(shí)間t；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由題意求出P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的速度，再設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度為2，用y表示出PM及QM的長(zhǎng)，由勾股定理即可求出t的值；
（2）由（1）中PM及QM的長(zhǎng)度即可得出線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的平方，y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（3）由于兩相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．
解答：解：∵A（2，4），
∴OM=2，AM=4，
∵點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OM作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)M點(diǎn)，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿MA作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到達(dá)A點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的速度度2，點(diǎn)Q速度的4，
（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度是2，則PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，
∵PQ²=PM²+QM²，即2²=（2-2t）²+（4t）²，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
答：當(dāng)t=0或t=0.4時(shí)，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度為2；

（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ²=PM²+QM²，即y=（2-2t）²+（4t）²，
整理得，y=20t²-8t+4（0≤t≤1）；

（3）存在．
∵A（2，4），
∴N（0，4），M（2，0），
∴ON=4，OM=2，
當(dāng)△MON∽△PMQ時(shí)，=，即=，解得t=0.5；
當(dāng)△MON∽△QMP時(shí)，=，即=，解得t=0.2．
故當(dāng)t=0.5分或t=0.2分時(shí)P、Q、M構(gòu)成的三角形與△MON相似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意用t表示出PM及QM的長(zhǎng)度是解答此題的關(guān)鍵．