Question

【題目】已知關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有兩個不相等的實數根x1和x2， 拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點分別為位于點（2，0）的兩旁，若|x1|+|x2|=2，則a的值為________．

Answer 1

【答案】﹣1

【解析】

試題由關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有兩個不相等的實數根，根據一元二次方程的二次項系數不為0和根的判別式求出a的取值范圍．設拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，得出α、β是關于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的兩個不相等的實數根，由拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，利用根與系數的關系確定a的取值范圍；把|x1|+|x2|=2 變形后，利用根與系數的關系求出a的值．

解：∵關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有兩個不相等的實數根，

∴且，

解得：a＜0，且a≠﹣2 ①

設拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，

則α、β是關于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的兩個不相等的實數根，

∵△=[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）2+21＞0，

∴a為任意實數②

由根與系數關系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5．

∵拋物線y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，

∴α＜2，β＞2，

∴（α﹣2）（β﹣2）＜0，

∴αβ﹣2（α+β）+4＜0，

∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0

解得：a＞﹣③

由①、②、③得a的取值范圍是﹣＜a＜0；

∵x1和x2是關于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0的兩個不相等的實數根

∴x1+x2=，x1x2=，

∵﹣＜a＜0，

∴a+2＞0，

∴x1x2=＜0．

不妨設x1＞0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ，

∴x12﹣2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴（）2﹣=8，

解這個方程，得：a1=﹣4，a2=﹣1，

經檢驗，a1=﹣4，a2=﹣1都是方程（）2﹣=8的根．

∵a=﹣4＜﹣，舍去，

∴a=﹣1為所求．

故答案為﹣1．