Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，連接AC、BC，tan∠CAO=

4

3

，tan∠CBO=

1

2

，AB=5．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，直線PH與CA的延長線交于點(diǎn)E，設(shè)PE的長為y（y≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)

AE

CE

=

1

3

時，求t的值，并判斷此時以點(diǎn)B為圓心，以PE長為半徑的⊙B與直線PH的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正切三角形函數(shù)的定義和OB=OA+AB求得OC=4，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）易證△ABC是等腰三角形，所以根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)作輔助線AF⊥BC于點(diǎn)F，則AF∥EP．所以由平行線分線段成比例來求y與t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）由已知條件易證

CA

CE

=

2

3

．然后根據(jù)（2）中的“平行線截線段成比例”列出比例式

CA

CE

=

CF

CH

、

HP

AF

=

BP

AB

，然后將相關(guān)數(shù)值代入來求t的值；通過計算PE=BH=

5

，所以BH是⊙B的半徑，又由PH⊥BH知，以PE長為半徑的⊙B與直線PH相切．

解答：解：（1）∵tan∠CAO=

4

3

，tan∠CBO=

1

2

，AB=5，
∴

CO

OA

=

4

3

，

OC

OA+AB

=

1

2

，
∴OC=4，OA=3．
又∵點(diǎn)C在y軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：C（0，4）；

（2）由（1）知，OC=4，OA=3，則在Rt△OAC中，由勾股定理求得AC=5．
∵AB=5，
∴AC=AB=5，
∴在Rt△OBC中，OC=4，OB=8，根據(jù)勾股定理求得BC=4

5

．
如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．則CF=BF=2

5

．
∴在Rt△ABF中，AF=

AB2-BF2

=

52-(2 5 )2

=

5

．
∵PE⊥BC，
∴AF∥EH．
∴

AF

EH

=

CF

CH

，即

5

y+ 1 2 BH

=

2 5

4 5 -BH

，①

BP

AB

=

BH

BF

，即

5-2t

5

=

BH

2 5

，②
由①②求得，y=

4 5

5

t（0＜t≤

5

2

）；

（3）∵

AE

CE

=

1

3

，
∴

CA

CE

=

2

3

．
由（2）知，AF∥EH．則

CA

CE

=

CF

CH

，即

2

3

=

2 5

4 5 -BH

，解得BH=

5

．
又

HP

AF

=

BP

AB

，即

1 2 × 5

5

=

5-2t

5

，
解得，t=

5

4

．
此時，直線PH與⊙B相切．理由如下：
∵由（2）知，y=

4 5

5

t，
∴PE=

4 5

5

×

5

4

=

5

，
∴PE=BH=

5

，即BH是⊙B的半徑．
又∵PH⊥BH，
∴PH與⊙B相切．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題．解答該題時，用到了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行線截線段成比例、切線的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．在解答（2）題時，也可以利用相似三角形的判定與性質(zhì)來求y與t的函數(shù)關(guān)系式．