Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線PA是一次函數(shù)的圖象，直線PB是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)P是兩直線的交點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

  （1）用分別表示點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)及∠PAB的度數(shù)；

  （2）若四邊形PQOB的面積是，且CQ:AO=1:2，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線PA與PB的函數(shù)表達(dá)式；

  （3）在（2）的條件下，是否存在一點(diǎn)D，使以A、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)A(，0) ,點(diǎn)B(，o), 點(diǎn)P,45°（2）PA的函數(shù)表達(dá)式為，PB的函數(shù)表達(dá)式為,（3）

【解析】解：(1)在直線中，令，得．  ∴點(diǎn)A(，0)．……1分

在直線中，令，得．  ∴點(diǎn)B(，o)．……1分

由 得    ∴點(diǎn)P

在直線中，令，得，∴，即有AO=QO．

  又∠AOQ=90°，∴∠PAB＝45°．    ……1分

(2)∵，，AO=CO，而CQ：AO＝1：2

而．

過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E．

．

                           ……2分

∴(舍去)．得．∴P()．

∴PA的函數(shù)表達(dá)式為，PB的函數(shù)表達(dá)式為．    ……1分

  (3)存在．

  過(guò)點(diǎn)P作直線PM平行于x軸，過(guò)點(diǎn)B作AP的平行線交PM于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BP的平行線交PM于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作BP、AP的平行線交于點(diǎn)．

  ①∵∥AB且∥AP，∴是平行四邊形．此時(shí)，易得；

  ②∵∥AB且∥BP，∴是平行四邊形．此時(shí)，易得；

③∵∥AP且∥BP，此時(shí)是平行四邊形．∵∥AP且B(2，O)，∴。同理可得．

由  得       ∴         ……3分

（1）已知直線解析式，令y=0，求出x的值，可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．聯(lián)立方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°．

（2）先根據(jù)CQ：AO=1：2得到m、n的關(guān)系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根據(jù)

S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ積列式求解即可求出m的值，從而也可求出n的值，繼而可推出點(diǎn)P的坐標(biāo)以及直線PA與PB的函數(shù)表達(dá)式．

（3）本題要依靠輔助線的幫助．求證相關(guān)圖形為平行四邊形，繼而求出D₁，D₂，D₃的坐標(biāo)．