Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝﹣+bx+c(其中b、c是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2，﹣2)與點(diǎn)B(0，4)，頂點(diǎn)為M．

（1）求該拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）平移這條拋物線，得到的新拋物線與y軸交于點(diǎn)C(點(diǎn)C在點(diǎn)B的下方)，且△BCM的面積為3．新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l與x軸交于點(diǎn)D．

①求點(diǎn)A隨拋物線平移后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)E、G在新拋物線上，且關(guān)于直線l對稱，如果正方形DEFG的頂點(diǎn)F在第二象限內(nèi)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是：(2，6)；（2）①點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝﹣+bx+c(其中b、c是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2，﹣2)與點(diǎn)B(0，4)，從而可以求得拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A，可得新拋物線的頂點(diǎn)為(-2,k)，設(shè)平移后新拋物線的解析式為，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，由面積列方程求出k，從而可以得到點(diǎn)A隨拋物線平移后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；

②根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)，設(shè)F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．將E代入（2）的解析式中即可求出a，繼而解題．可以求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解：（1）將A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中，

解得

∴該拋物線的表達(dá)式為：；

∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6，

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是：(2，6)；

（2）①∵平移后拋物線的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2，﹣2)，

∴可設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：，

∴C(0，﹣2+k)．

∴，

解得，k＝3．

∴，

即原拋物線向左平移4個單位，向下平移3個單位可以得到新的拋物線．

∴點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣6，﹣5)；

②設(shè)EG與DF的交點(diǎn)為H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH．

∵點(diǎn)E、G是這條拋物線上的一對對稱點(diǎn)，

∴EG∥x軸．

∴DF⊥x軸，

設(shè)F(﹣2，2a)．

∵點(diǎn)F在第二象限內(nèi)，

∴a＞0．

∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a．

不妨設(shè)點(diǎn)E在點(diǎn)G的右側(cè)，那么E(﹣2+a，a)．

將點(diǎn)E代入，得，

解得，，(不合題意，舍去)．

∴F(﹣2，)．