Question

在正方形網(wǎng)格中以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A交網(wǎng)格于點(diǎn)C（如圖（1）），過點(diǎn)C作圓的切線交網(wǎng)格于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作圓交網(wǎng)格于點(diǎn)E（如圖（2））．
問題：
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：△AEB≌△ADC；
（3）△AEB可以看作是由△ADC經(jīng)過怎樣的變換得到的？并判斷△AED的形狀（不用說明理由）．
（4）如圖（3），已知直線a，b，c，且a∥b，b∥c，在圖中用直尺、三角板、圓規(guī)畫等邊三角形A′B′C′，使三個(gè)頂點(diǎn)A′，B′，C′，分別在直線a，b，c上．要求寫出簡要的畫圖過程，不需要說明理由．

Answer 1

解：（1）連接BC，由網(wǎng)格可知點(diǎn)C在AB的中垂線上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC=60°；

（2）∵CD切⊙A于點(diǎn)C，
∴∠ACD=90°∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB與Rt△ADC中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；

（3）△AEB可以看作是由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的．
△AED是等邊三角形；

（4））①在直線a上任取一點(diǎn)，記為點(diǎn)A′，作A′M′⊥b，垂足為點(diǎn)M′；②作線段A′M′的垂直平分線，此直線記為直線d；③以點(diǎn)A′為圓心，A′M′長為半徑畫圓，與直線d交于點(diǎn)N′；④過點(diǎn)N′作N′C′⊥A′N′交直線c于點(diǎn)C′，連接A′C′；⑤以點(diǎn)A′為圓心，A′C′長為半徑畫圓，此圓交直線b于點(diǎn)B′；⑥連接A′B′、B′C′，則△A′B′C′為所求等邊三角形．
分析：（1）連接BC，通過證明△ABC是等邊三角形，即可求出∠ABC的度數(shù)；
（2）在Rt△AEB與Rt△ADC中，通過HL證明△AEB≌△ADC；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出△AED是等邊三角形；
（4）利用HL定理可證△A′N′C′≌△A′M′B′，得∠C′A′N′=∠B′A′M′，于是∠B′A′C′=∠M′A′N′=60°，由A′B′=A′C′得△A′B′C′為等邊三角形．
點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和作圖-復(fù)雜作圖，第（4）題有一定的難度．