【題目】感知:如圖1,在中,D、E分別是AB、AC兩邊的中點(diǎn),延長DE至點(diǎn)F,使,連結(jié)易知≌.
探究:如圖2,AD是的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且,求證:.
應(yīng)用:如圖3,在中,,,,DE是的中位線過點(diǎn)D、E作,分別交邊BC于點(diǎn)F、G,過點(diǎn)A作,分別與FD、GE的延長線交于點(diǎn)M、N,則四邊形MFGN周長C的取值范圍是______.
【答案】(1)探究:證明見詳解 (2)應(yīng)用:
【解析】
(1)探究:如圖,延長AD至點(diǎn)M,使,連接MC,根據(jù)題意有≌,得到,,然后因?yàn)?/span>,,所以,即.
(2)應(yīng)用:由題意知四邊形MFGN是平行四邊形,因?yàn)?/span>是的中位線,所以MN=FG=DE,故當(dāng)NG⊥BC是四邊形MFGN周長C的值最小,當(dāng)NG與AC重合時(shí)四邊形MFGN周長C最大,分別求出最大最小值即可.
(1)探究:如圖2,延長AD至點(diǎn)M,使,連接MC,
在和中,,
≌;
,,
,
,
,
,
,
;
(2)應(yīng)用:解:如圖3,
,,
四邊形MFGN是平行四邊形,
,,
是的中位線,
,,
,
四邊形MFGN周長,
時(shí),MF最短,
即:四邊形MFGN的周長最小,
過點(diǎn)A作于H,
∴,
在中,,,
,,
,
∴,
四邊形MFGN的周長C最小為,
四邊形MFGN的周長C最大為,如圖
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖鋼架中,∠A=,焊上等長的鋼條P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……來加固鋼架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根鋼條,則α的取值范圈是( )
A.15°≤ a <18°
B.15°< a ≤18°
C.18°≤ a <22.5°
D.18° < a ≤ 22.5°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂直為D,若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)直接寫出不等式;kx+b≤的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊上,且BE=BD,連結(jié)AE、DE、DC
①求證:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力,某學(xué)校計(jì)劃開設(shè)四門選修課:樂器、舞蹈、繪畫、書法,學(xué)校采取隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行問卷調(diào)查每個(gè)被調(diào)查的學(xué)生必須選擇而且只能選擇其中一門對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
本次調(diào)查的學(xué)生共有______人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值是______.
分別求出參加調(diào)查的學(xué)生中選擇繪畫和書法的人數(shù),并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
該校共有學(xué)生2000人,估計(jì)該校約有多少人選修樂器課程?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),過點(diǎn)M作軸,如果二次函數(shù)的圖象與關(guān)于l成軸對(duì)稱,則稱是關(guān)于點(diǎn)M的伴隨函數(shù)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式是,點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,二次函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)M的伴隨函數(shù).
若,
求的函數(shù)表達(dá)式.
點(diǎn),在二次函數(shù)的圖象上,若,a的取值范圍為______.
過點(diǎn)M作軸,
如果,線段MN與的圖象交于點(diǎn)P,且MP::3,求m的值.
如圖3,二次函數(shù)的圖象在MN上方的部分記為,剩余的部分沿MN翻折得到,由和所組成的圖象記為.以、為頂點(diǎn)在x軸上方作正方形直接寫出正方形ABCD與G有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,的延長線與相交于點(diǎn),連接、.
如圖,若,.
①求證:;②猜想線段、的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
如圖,若,(為常數(shù)),求的值(用含、的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D,E分別在正△ABC的邊AB,BC上,且BD=CE,CD,AE交于點(diǎn)F.
(1)①求證:△ACE≌△CBD;②求∠AFD的度數(shù);
(2)如圖2,若D,E,M,N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn),BM,CD交于Q.若△ABC的面積為S,請(qǐng)用S表示四邊形ANQF的面積 ;
(3)如圖3,延長CD到點(diǎn)P,使∠BPD=30°,設(shè)AF=a,CF=b,請(qǐng)用含a,b的式子表示PC長,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,中,,,.
點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng).如果、分別從,同時(shí)出發(fā),線段能否將分成面積相等的兩部分?若能,求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間;若不能說明理由.
若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng),點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng),、同時(shí)出發(fā),問幾秒后,的面積為?
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