Question

【題目】感知：如圖1，在中，D、E分別是AB、AC兩邊的中點(diǎn)，延長DE至點(diǎn)F，使，連結(jié)易知≌．

探究：如圖2，AD是的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且，求證：．

應(yīng)用：如圖3，在中，，，，DE是的中位線過點(diǎn)D、E作，分別交邊BC于點(diǎn)F、G，過點(diǎn)A作，分別與FD、GE的延長線交于點(diǎn)M、N，則四邊形MFGN周長C的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】（1）探究：證明見詳解 （2）應(yīng)用：

【解析】

（1）探究：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，根據(jù)題意有≌，得到，，然后因?yàn)?/span>，，所以，即.

（2）應(yīng)用：由題意知四邊形MFGN是平行四邊形，因?yàn)?/span>是的中位線，所以MN=FG=DE，故當(dāng)NG⊥BC是四邊形MFGN周長C的值最小，當(dāng)NG與AC重合時(shí)四邊形MFGN周長C最大，分別求出最大最小值即可.

（1）探究：如圖2，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，

在和中，，

≌；

，，

，

，

，

，

，

；

（2）應(yīng)用：解：如圖3，

，，

四邊形MFGN是平行四邊形，

，，

是的中位線，

，，

，

四邊形MFGN周長，

時(shí)，MF最短，

即：四邊形MFGN的周長最小，

過點(diǎn)A作于H，

∴，

在中，，，

，，

，

∴，

四邊形MFGN的周長C最小為，

四邊形MFGN的周長C最大為，如圖

故答案為：．