Question

【題目】我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形EFGH是菱形；（3）四邊形EFGH是正方形.

【解析】分析：（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．
（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明．

詳解：（1）如圖1，連接BD，

∵點(diǎn)E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，

∴EH∥BD、EH=BD，

∵點(diǎn)F、G分別為BC、DC的中點(diǎn)，

∴FG∥BD、FG=BD，

∴EH=FG、EH∥FG，

∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）四邊形EFGH是菱形，

如圖2，連接AC、BD，

∵∠APB=∠CPD，

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，

在△APC和△BPD中，

AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD，

∴△APC≌△BPD（SAS），

∴AC=BD，

∵點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD的中點(diǎn)，

∴EF=AC、FG=BD，

∴EF=FG，

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形；

（3）四邊形EFGH是正方形，

設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N，

∵△APC≌△BPD，

∴∠ACP=∠BDP，

∵∠DMO=∠CMP，

∴∠COD=∠CPD=90°，

∵EH∥BD、AC∥HG，

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．