Question

11．如圖，已知△ABD是一張直角三角形紙片，其中∠A=90°，∠ADB=30°，小亮將它繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0＜β＜180°）后得到△AMF，AM交直線BD于點(diǎn)K．
（1）當(dāng)β=90°時(shí)，利用尺規(guī)在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的△AMF，并直接寫(xiě)出直線BD與線段MF的位置關(guān)系；
（2）求△ADK為等腰三角形時(shí)β的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）在AB的延長(zhǎng)線上截取AM=AD，在DA的延長(zhǎng)線上截取AF=AB，連結(jié)FM得到△AMF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷直線BD與線段MF垂直；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MAD=β，分類討論：當(dāng)KA=KD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當(dāng)DK=DA時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DKA=∠DAK，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠DAK=75°，即β=75°；當(dāng)AK=AD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AKD=∠D=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠KAD=120°，即β=120°．

解答 解：（1）如圖，△AMF為所作，
因?yàn)椤鰽DB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AMF，
所以BD旋轉(zhuǎn)90°得到MF，
所以BD⊥MF；

（2）∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0＜β＜180°）后得到△AMF，
∴∠MAD=β，
當(dāng)KA=KD時(shí)，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；
當(dāng)DK=DA時(shí)，則∠DKA=∠DAK，而∠D=30°，所以∠DAK=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，即β=75°；
當(dāng)AK=AD時(shí)，則∠AKD=∠D=30°，則∠KAD=180°-30°-30°=120°，即β=120°，
綜上所述，β的度數(shù)為30°或75°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．應(yīng)用分類討論思想和等腰三角形的性質(zhì)是解決第（2）問(wèn)的關(guān)鍵．