Question

若關(guān)于x的方程x⁴-16x³+（81-2a）x²+（16a-142）x+a²-21a+68=0的各根為整數(shù)，求a的值，并解此方程．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：首先將原式分解因式，進(jìn)而得出

x2-6x+4-a=0① x2-10x+17-a=0②

，進(jìn)而求出a的值，即可得出方程的根．

解答：解：∵x⁴-16x³+（81-2a）x²+（16a-142）x+a²-21a+68
=（x⁴-16x³+60x²）+（21-2a）x²+（16a-142）x+（a²-21a+68）
=（x²-6x）（x²-10x）+[（4-a）+（17-a）]x²-[10（4-a）+6（17-a）]x+（4-a）（17-a）
=（x²-6x）（x²-10x）+[（4-a）x²-10（4-a）x]+[（17-a）x²-6（17-a）x]+（4-a）（17-a）
=（x²-6x）（x²-10x）+（4-a）（x²-10x）+（17-a）（x²-6x）+（4-a）（17-a）
=[（x²-6x）（x²-10x）+（4-a）（x²-10x）]+[（17-a）（x²-6x）+（4-a）（17-a）]
=（x²-6x+4-a）（x²-10x）+（17-a）（x²-6x+4-a）
=（x²-6x+4-a）（x²-10x+17-a）
∴

x2-6x+4-a=0① x2-10x+17-a=0②

，
∴①式判別式△₁=（-6）²-4（4-a）=4（a+5）
②式判別式△₂=（-10）²-4（17-a）=4（a+8）
∵方程的各根為整數(shù)
∴a+5和a+8應(yīng)該是整數(shù)的平方
∴設(shè)n、m∈Z且n＞m≥0，且有：

a+5=m2 a+8=n2

，
兩式相減得：3=1×3=n²-m²=（n-m）（n+m）
∴

n-m=1 n+m=3

，
解得：

m=1 n=2

，
故解得：a=-4
將a=-4代入方程①②得：

x2-6x+8=0③ x2-10x+21=0④

，
解③④得：x₁=2，x₂=4，x₃=3，x₄=7．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，正確將原方程分解因式是解題關(guān)鍵．