Question

如圖，等邊△ABC中，D、E分別在AB、BC邊上，且AD=2BE=4，連接DE，并將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段EF，連接CF，取EF中點G，連接AG，延長CF交AG于點H．若AH=

5

2

HG，則BD長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行線分線段成比例

專題：計算題

分析：在BC上截取CM=BE=2，連接FM，則利用等邊三角形的性質(zhì)得BD=EM，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DEF=60°，ED=EF，接著可證明△BDE≌△MEF，得到∠B=∠EMF=60°，BE=MF=CM，則∠MCF=∠MFC=30°，所以CH平分∠ACB；延長CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CN垂直平分AB，所以CN∥GO∥EP，利用平行線分線段成比例定理得到

AN

NO

=

AH

HG

=

5

2

，則ON=

2

5

AN，

NO

OP

=

FG

EG

=1，則NO=OP，所以NP=

4

5

AN=

4

5

BN，于是BP=BN-NP=

1

5

BN，然后利用∠BEP=∠NCB=30°得到BP=

1

2

BE=1，所以BN=AN=5，易得AB=2BN=10，再利用BD=AB-AD進行計算即可．

解答：解：在BC上截取CM=BE=2，連接FM，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
D=2BE=BE+CM，
∴BD=EM，
∵將線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段EF，
∴∠DEF=60°，ED=EF，
∴∠DEB+∠MEF=120°，
而∠DEB+∠BDE=120°，
∴∠BDE=∠MEF，
在△BDE和△MEF中，

BD=ME ∠BDE=∠MEF DE=EF

，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠B=∠EMF=60°，BE=FM，
∴MF=CM，
∴∠MCF=∠MFC=

1

2

∠EMF=30°，
∴CH平分∠ACB；
延長CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，
∵CH平分∠ACB
∴CN垂直平分AB，AN=BN，
∴CN∥GO∥EP 
∴

AN

NO

=

AH

HG

=

5

2

，即ON=

2

5

AN，
∵G點為EF的中點，
∴EG=GF，
∴

NO

OP

=

FG

EG

=1，
即NO=OP，
∴NP=

4

5

AN=

4

5

BN，
∴BP=BN-NP=BN-

4

5

BN=

1

5

BN，
∵PE∥CN，
∴∠BEP=∠NCB=30°，
∴BP=

1

2

BE=

1

2

×2=1，
∴BN=AN=5，
∴AB=2BN=10，
∴BD=AB-AD=10-4=6．
故答案為6．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．本題難度較大．