Question

在△ABC中，CD為高，且AD=2，BD=8，如果CD=4，那么∠ACB的平分線CE=

4 10

3

或4

2

．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AC、BC再根據(jù)三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段的比等于兩鄰邊的比求出AE：BE，然后求出AE，再分∠A是銳角和鈍角兩種情況討論求出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：∵在Rt△ACD中，AC=

AD2+CD2

=

22+42

=2

5

，
在Rt△BCD中，BC=

BD2+CD2

=

82+42

=4

5

，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴AE：BE=AC：BC=2

5

：4

5

=1：2，
①如圖1，∠A是銳角時，AB=AD+BD=2+8=10，
∴AE=

1

1+2

×10=

10

3

，
DE=AE-AD=

10

3

-2=

4

3

，
在Rt△CDE中，CE=

CD2+DE2

=

42+( 4 3 )2

=

4 10

3

，
②如圖2，∠A是鈍角時，AB=BD-AD=8-2=6，
∴AE=

1

1+2

×6=2，
DE=AE+AD=2+2=4，
在Rt△CDE中，CE=

CD2+DE2

=

42+42

=4

2

，
綜上所述，CE的長是

4 10

3

或4

2

．
故答案為：

4 10

3

或4

2

．

點評：本題考查了勾股定理，三角形角平分線的性質(zhì)，利用性質(zhì)求出AE與BE的比值是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論．注：三角形的角平分線的性質(zhì)在很多教材已經(jīng)刪掉，本題只適合少數(shù)地區(qū)使用．