Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2ax²+2x-3-a．若存在x₀（-1≤x₀≤1）滿足2ax₀²+2x₀-3-a=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：此題需要分兩種情況進(jìn)行討論：
①若此函數(shù)是一次函數(shù)，則a=0，解析式為：y=2x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]之間沒有符合條件的x₀，故此種情況不成立；
②若此函數(shù)是二次函數(shù)，即a≠0；又要分兩種情況進(jìn)行討論：
一、若在區(qū)間[-1，1]中，只有一個(gè)符合條件的零點(diǎn)，那么
1、當(dāng)x=1、x=-1時(shí)，函數(shù)值的乘積應(yīng)該是0或負(fù)數(shù)，即f（1）•f（-1）≤0，由此可求出a的取值范圍；
2、該二次函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，令△=0，即可求出a的值；
二、若在區(qū)間[-1，1]中，有兩個(gè)零點(diǎn)，那么要分兩種情況進(jìn)行討論：
1、a＞0，此時(shí)函數(shù)的開口方向向上，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判別式△＞0，據(jù)此可求出a的取值范圍；
2、a＜0，此時(shí)函數(shù)的開口方向向下，有：f（1）•f（-1）≥0，且根的判別式△＞0，據(jù)此可求出a的另一個(gè)取值范圍；
兩式上面所提到的各種情況，即可求得a的取值范圍．

解答：解：y=f（x）=2ax²+2x-3-a，若a=0，f（x）=2x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上沒有符合條件的x₀，
所以a≠0
令△=4+8a（3+a）=8a²+24a+4=0，
得a=

-3± 7

2

；
當(dāng)a=

-3- 7

2

時(shí)，y=f（x）恰有一個(gè)x₀（-1≤x₀≤1）；
當(dāng)f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）≤0，
即1≤a≤5時(shí)，y=f（x），也恰有一個(gè)x₀（-1≤x₀≤1）；
當(dāng)y=f（x）在[-1，1]上有兩個(gè)x₀時(shí)，則

a＞0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≥0 f(-1)≥0

，或

a＜0 △=8a2+24a+4＞0 -1＜- 1 2a ＜1 f(1)≤0 f(-1)≤0

；
解得a≥5或a＜

-3- 7

2

；
因此a的取值范圍是a≥1或a≤

-3- 7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了從函數(shù)值域的角度來分析方程有解的參數(shù)范圍問題，難點(diǎn)在于將各種可能的情況都考慮到．