Question

11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，則該四邊形的面積為（　�。�

• A． 9$\sqrt{7}$
• B． 12
• C． 8
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根據(jù)等角對等邊可得CD=AD=4，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BC，然后利用勾股定理求出AC，從而得出DE的長，最后根據(jù)四邊形的面積=S_△ABC+S_△ADC，即可得出答案．

解答 解：∵CA是∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AD=4，
∴CD=AD=4，
過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，則AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CE}{AC}$，
即 $\frac{4}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}$=3，
∴四邊形的面積為：$\frac{1}{2}$AB•AC+$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{7}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×3=9$\sqrt{7}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理、三角形的面積公式等知識點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形并求出BC的長是解題的關(guān)鍵．