Question

如圖，已知△ABC的一個外角∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分線，且AD的反向延長線與△ABC的外接圓交于點F，連接FB、FC，且FC與AB交于E．
（1）判斷△FBC的形狀，并說明理由；
（2）請?zhí)剿骶�段AB、AC與AF之間滿足條件的關系式并說明理由．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）運用圓周角定理、圓內接四邊形的性質證明∠FCB=∠FAB=60°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線，首先證明△AGC為等邊三角形；進而證明△ACF≌△GCB，得到AF=BG，問題即可解決．

解答：解：（1）△FBC為等邊三角形．理由如下：
∵∠CAM=120°，AD是∠CAM的平分線，
∴∠CAD=∠MAD=60°；
∴∠FBC=∠CAD=60°，∠FAB=∠MAD=60°；
∴∠FCB=∠FAB=60°，
∴△FBC是等邊三角形．

（2）在線段AB上截取AG，使AG=AC，連接CG；
∵∠GAC=∠BFC=60°，
∴△AGC為等邊三角形，AC=GC；∠ACG=60°；
∵∠BCF=60°，
∴∠ACF=∠GCB；在△ACF與△GCB中，

AC=GC ∠ACF=∠GCB CF=CB

，
∴△ACF≌△GCB（SAS），
∴AF=BG，
∴AB=AC+AF．

點評：該題主要考查了圓周角定理及其推論、等邊三角形的判定、全等三角形的判定及其性質等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．