Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

3

4

x-

3

2

與拋物線y=-

1

4

x²+bx+c交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．
①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據(jù)直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
②分（i）點(diǎn)G在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=FP，∠APF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角邊角”證明△APM和△FPN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PM=PN，從而得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則

3

4

x-

3

2

=0，解得x=2，
x=-8時(shí)，y=

3

4

×（-8）-

3

2

=-

15

2

，
∴點(diǎn)A（2，0），B（-8，-

15

2

），
把點(diǎn)A、B代入拋物線得，

- 1 4 ×(-2)2+2b+c=0 - 1 4 ×(-8)2-8b+c=- 15 2

，
解得

b=- 3 4 c= 5 2

，
所以，該拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

；

（2）①∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)D在直線上，
∴PD=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

-（

3

4

x-

3

2

）=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
∵PE⊥AB，
∴∠DPE+∠PDE=90°，
又∵PD⊥x軸，
∴∠BAO+∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠BAO，
∵直線解析式k=

3

4

，
∴sin∠BAO=

3

5

，cos∠BAO=

4

5

，
∴PE=PDcos∠DPE=

3

5

PD，
DE=PDsin∠DPE=

4

5

PD，
∴△PDE的周長(zhǎng)為l=PD+

3

5

PD+

4

5

PD=

12

5

PD=

12

5

（-

1

4

x²-

3

2

x+4）=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

，
即l=-

3

5

x²-

18

5

x+

48

5

；
∵l=-

3

5

（x²+6x+9）+15，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，最大值為15；

②∵點(diǎn)A（2，0），
∴AO=2，
分（i）點(diǎn)G在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，
在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，
∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，
∴∠PAH=∠AGO，
在△APH和△GAO中，

∠PAH=∠AGO ∠AHP=∠GOA=90° AP=AG

，
∴△APH≌△GAO（AAS），
∴PH=AO=2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，
∴-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

=2，
整理得，x²+3x-2=0，
解得x=

-3± 17

2

，
∴點(diǎn)P₁（

-3+ 17

2

，2），P₂（

-3- 17

2

，2）；

（ii）點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，
在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，
∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，
∴∠APM=∠FPN，
在△APM和△FPN中，

∠APM=∠FPN ∠AMP=∠FNP=90° AP=AF

，
∴△APM≌△FPN（AAS），
∴PM=PN，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，
∴-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

=x，
整理得，x²+7x-10=0，
解得x₁=

-7+ 89

2

，x₂=

-7- 89

2

（舍去），
∴點(diǎn)P₃（

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

）
綜上所述，存在點(diǎn)P₁（

-3+ 17

2

，2），P₂（

-3- 17

2

，2），P₃（

-7+ 89

2

，

-7+ 89

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，（1）①利用銳角三角函數(shù)用PD表示出三角形是周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，②難點(diǎn)在于分情況討論．