Question

如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
（1）求證：PA=PC．
（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在PA和PC的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，則易證四邊形EMFN是平行四邊形，則可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可證得△EAM≌△FCN，則可得PA=PC；
（2）由PA=PC，EP=PF，可證得四邊形AFCE為平行四邊形，易得△PED≌△PFB，則可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四邊形ABCD的面積．
解答：（1）證明：在PA和PC的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)M、N，使AM=AE，CN=CF．
∵AP+AE=CP+CF，
∴PN=PM．
∵PE=PF，
∴四邊形EMFN是平行四邊形．
∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．
又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，
∴△EAM≌△FCN．
∴AM=CN．
∵PM=PN，
∴PA=PC．

（2）解：∵PA=PC，EP=PF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形．
∴AE∥CF．
∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，
∴△PED≌△PFB．
∴DP=PB．
由（1）知PA=PC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，
∴四邊形ABCD的面積為90．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題圖形比較復(fù)雜，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．