Question

已知：如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，割線PBC過圓心O，PA=4，PB=2．
（1）求BC、AB的長；
（2）若∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于點D、E．求AE的長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出BC為x，由BP=2，根據(jù)BC+BP表示出PC，再由PA的長，利用切割線定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到BC的長；由PA為圓的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到一對角相等，再由一對公共角，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△PBA∽△PAC，根據(jù)相似得比例，把PB和PA的長代入得到AC=2AB，又CB為圓的直徑，故所對的圓周角為直角，得到三角形ABC為直角三角形，設(shè)AB=k，則AC=2k，再由BC的長，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，即為AB的長；
（2）由AE為角平分線，根據(jù)角平分線的定義得到一對角相等，再由弦切角等于夾弧所對的圓周角得到另一對角相等，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，等量代換及對頂角相等可得∠PAD=∠PDA，根據(jù)等角對等邊得到PA=PD=4，進而分別求出BD，CD及OD的長，連接OE，OA，由PA為圓的切線，得到∠OAP=90°，即∠OAE+∠DAP=90°，又OE=OA，根據(jù)等邊對等角得到∠OAE=∠OEA，由剛才得到∠PAD=∠PDA=∠ODE，等量代換可得∠EOD=90°，從而在直角三角形EOD中，由OD與OE的長根據(jù)勾股定理求出DE的長，然后利用相交弦定理求出AD的長，由DE+AD即可求出AE的長．

解答：解：（1）設(shè)BC=x，PC=BC+BP=x+2，PA=4，
∵PA為⊙O的切線，PC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，即16=2（x+2），
解得：x=6，則BC=6；
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴

AB

AC

=

PB

PA

，又PB=2，PA=4，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

1

2

，
∴AC=2AB，
設(shè)AB=k，AC=2k，
∵CB為圓的直徑，∴∠CAB=90°，
在Rt△ABC中，由BC=6，
根據(jù)勾股定理得：BC²=AB²+AC²，
即36=k²+4k²，解得：k=

6 5

5

，
則AB=

6 5

5

；

（2）∵AE為∠CAB的平分線，∴∠CAE=∠BAE，
又∵AP為圓的切線，∴∠PAB=∠C，
∵∠PDA為△CAD的外角，
∴∠PDA=∠C+∠CAE，又∠PAD=∠PAB+∠BAD，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD=4，
∴BD=DP-BP=4-2=2，CD=CB-BD=6-2=4，OD=CD-OC=4-3=1，
連接AO，OE，由PA為圓的切線，得到∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠DAP=90°，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
又∠PAD=∠PDA=∠ODE，
∴∠OEA+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
在Rt△EOD中，由OD=1，OE=3，
由勾股定理得DE=

10

，
由相交弦定理得：AD•DE=BD•CD，
∴AD=

BD•CD

DE

=

2×4

10

=

4 10

5

，
則AE=AD+DE=

4 10

5

+

10

=

9 10

5

．

點評：此題綜合考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，相交弦定理以及切割線定理，其中見了有切線，圓心切點連，利用切線性質(zhì)將相切轉(zhuǎn)化為垂直，即構(gòu)造直角三角形，通過列方程的方法來解決問題中所需的量，此方法稱為“構(gòu)圖建模計算法”，要求學(xué)生把所學(xué)知識融匯貫穿，靈活運用．本題的第三問中注意利用轉(zhuǎn)化的思想來解決角度之間的關(guān)系．