Question

17．己知二次函數(shù)y₁=ax²（a＞0）過(guò)（-1，1）點(diǎn)且其圖象與y₂=bx（b不為零之常數(shù)）交于兩點(diǎn)，當(dāng)x＜-1或x＞0時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y₁＜y₂，反比例函數(shù)y₃=$\frac{c}{x}$與y₂=bx的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為8，分別求y₁，y₂，y₃的表達(dá)式．

Answer 1

分析 先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)y₁的表達(dá)式，再根據(jù)“當(dāng)x＜-1或x＞0時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y₁＜y₂”得y₁與y₂交點(diǎn)為（-1，1），代入可求出y₂的表達(dá)式；因?yàn)檎�比例函�?shù)和反比例函數(shù)的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得OA=4，因?yàn)閥₂=-x，說(shuō)明此直線是二、四象限的角平分線，所以△AOC是等腰直角三角形，從而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出y₃的表達(dá)式．

解答 解：如圖，
把（-1，1）代入y₁=ax²中得：a=1，
∴y₁=x²，
由題意得：y₁與y₂交于（-1，1），
把（-1，1）代入y₂=bx中得：-b=1，
b=-1，
∴y₂=-x，
設(shè)y₃與y₂的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，過(guò)A作AC⊥x軸于C，
則OA=OB，
∵AB=8，
∴OA=4，
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴AO=$\sqrt{2}$OC，
∴OC=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴c=-2$\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=-8，
∴y₃=-$\frac{8}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)、反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求各函數(shù)的表達(dá)式，同時(shí)，圖象與已知相結(jié)合，理解“當(dāng)x＜-1或x＞0時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y₁＜y₂，”的含義，分別找出或計(jì)算三個(gè)函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出各表達(dá)式．