Question

如圖，已知點A（0，1），點B（1，0）．點P（t，m）是線段AB上一動點，且0＜t＜

1

2

，經(jīng)過點P的雙曲線y=

k

x

與線段AB相交于另一點Q，并且點Q是拋物線y=3x²+bx+c的頂點．
（1）寫出線段AB所在直線的表達式；
（2）用含t的代數(shù)式表示k；
（3）設(shè)上述拋物線y=3x²+bx+c與線段AB的另一個交點為R，當△POR的面積等于

1

6

 時，分別求雙曲線y=

k

x

和拋物線y=ax²+bx+c的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A和點B的坐標利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)點P（t，m）是AB：y=-x+1上一點，得到m=1-t，即點P（t，1-t）然后根據(jù)雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點P（t，1-t），得到k=xy=t（1-t）從而用t表示出反比例函數(shù)的解析式；
（3）首先聯(lián)立y=-x+1和y=

t(1-t)

x

，得到P（t，1-t）和Q（1-t，t），然后根據(jù)點Q（1-t，t）為拋物線y=3x²+bx+c的頂點，得到拋物線y=3（x-1+t）²+t，再次聯(lián)立y=-x+1和y=3（x-1+t）²+t，表示出Q（1-t，t）和R（

2

3

-t，t+

1

3

），從而得到S_△POR=

1

2

|

2

3

-2t|，根據(jù)S_△POR=

1

6

時確定t的值，從而求得雙曲線和拋物線的解析式．

解答：解：如圖，（1）設(shè)線段AB所在直線的解析式為y=kx+b，
∵點A（0，1），點B（1，0），
∴

b=1 k+b=0

解得：k=-1，b=1，
∴線段AB所在直線的表達式：y=-x+1；

（2）∵點P（t，m）是AB：y=-x+1上一點，
∴m=1-t，即點P（t，1-t）
又∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點P（t，1-t），
∴k=xy=t（1-t）
即雙曲線y=

t(1-t)

x

．

（3）聯(lián)立y=-x+1和y=

t(1-t)

x

，
解得，x=t，y=1-t，或x=1-t，y=t，
得P（t，1-t）和Q（1-t，t），
∵點Q（1-t，t）為拋物線y=3x²+bx+c的頂點，
∴拋物線y=3（x-1+t）²+t，
聯(lián)立y=-x+1和y=3（x-1+t）²+t，
整理得，3（x-1+t）²+（x-1+t）=0
解得，x=1-t，y=t，或x=

2

3

-t，y=t+

1

3

，
得Q（1-t，t）和R（

2

3

-t，t+

1

3

），
∴S_△POR=

1

2

|

2

3

-2t|，
當S_△POR=

1

6

時，|

2

3

-2t|=

1

3

，
解得t=

1

2

，或t=

1

6

，
∵0＜t＜

1

2

，∴t=

1

6

，
∴此時，k=t（1-t）=

5

36

∴此時雙曲線y=

5

36x

，拋物線y=3（x-

5

6

）²+

1

6

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．