Question

【題目】如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點E，過點E作AB的垂線交AB于點F，交CB的延長線于點G，且∠ABG=2∠C．

（1）求證：EG是⊙O的切線；

（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）⊙O半徑為.

【解析】

(1)根據(jù)∠ABG=2∠C ，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得(2)由三角函數(shù)求出BE、CE的長，再用勾股定理求BC的長即可求長半徑的長.

證明（1）如圖：連接OE，BE，

∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A.

∴∠C=∠A，

∴BC=AB，

∵BC是直徑，

∴∠CEB=90°，且AB=BC，

∴CE=AE，且CO=OB，

∴OE∥AB，

∵GE⊥AB，

∴EG⊥OE，且OE是半徑，

∴EG是⊙O的切線，

（2）∵AC=8，

∴CE=AE=4，

∵tan∠C=.

∴BE=2，

∴BC=.

∴CO=.

即⊙O半徑為.