Question

10．如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，△ABE是等邊三角形．求證：四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 由平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)得出∠DEA=∠CEB，由SAS證明△ADE≌△BCE，得出∠A=∠D．由∠A+∠D=180°，得出∠A=∠D=90°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=BE，∠EAB=∠EBA=∠AEB=60°，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DEA=∠EAB=60°，∠CEB=∠EBA=60°．
∴∠DEA=∠CEB，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE．
在△ADE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}&{\;}\\{∠DEA=∠CEB}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠A=∠D．
又∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．