Question

20．解答題唐代大詩人李白喜好飲酒作詩，民間有“李白斗酒詩百篇”之說．《算法統(tǒng)宗》中記載了一個“李白沽酒”的故事．詩云：

注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇 見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．
（1）列方程求壺中原有多少升酒；
（2）設壺中原有a₀升酒，在第n個店飲酒后壺中余a_n升酒，如第一次飲后所余酒為a₁=2a₀-19（升），第二次飲后所余酒為a₂=2a₁-19=2（2a₀-19）-19=2²a₀-（2¹+1）×19（升），…．
①用a_n-1的表達式表示a_n，再用a₀和n的表達式表示a_n；
②按照這個約定，如果在第4個店喝光了壺中酒，請借助①中的結論求壺中原有多少升酒．

Answer 1

分析 （1）分別表示出酒壺中剩余的酒量，利用在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒進而得出等式求出答案；
（2）①利用已知第一次飲后所余酒為a₁=2a₀-19（升），第二次飲后所余酒為a₂=2a₁-19=2（2a₀-19）-19=2²a₀-（2¹+1）×19（升），…，進而用a₀和n的表達式表示a_n；
②利用①中所求，進而代入求出答案．

解答 解：（1）設壺中原有x升酒．
依題意得：2[2（2x-19）-19]-19=0，
去中括號，得4（2x-19）-3×19=0．
去括號，得：8x-7×19=0．
系數(shù)化1，得x=16$\frac{5}{8}$，
答：壺中原有16$\frac{5}{8}$升酒；

（2）①a_n=2a_n-1-19，
a_n=2ⁿa₀-（2^n-1+2^n-2+…+1）×19，
（或a_n=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×19）；

②當n=4時，a₄=2⁴a₀-（2³+2²+2¹+1）×19．
（或寫成a₄=2⁴a₀-（2⁴-1）×19）
∵在第4個店喝光了壺中酒，
∴2⁴a₀-（2³+2²+2¹+1）×19=0，
（或寫成2⁴a₀-（2⁴-1）×19=0）
即16a₀-15×19=0．
解得：a₀=17$\frac{13}{16}$，
答：在第4個店喝光了壺中酒時，壺中原有17$\frac{13}{16}$升酒．

點評 此題主要考查了一元一次方程的應用以及數(shù)字變化規(guī)律等知識，正確得出相鄰關系式變化規(guī)律是解題關鍵．