【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.

(1)請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明);

(2)如圖②,如果∠ACB不是直角,其他條件不變,那么在(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)FE=FD (2)答案見解析

【解析】

(1)先在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG,利用SAS判定AEF≌△AGF,得出∠AFE=AFG,F(xiàn)E=FG,再利用ASA判定CFG≌△CFD,得到FG=FD,進(jìn)而得出FE=FD;

(2)先過點(diǎn)F分別作FGAB于點(diǎn)G,F(xiàn)HBC于點(diǎn)H,則∠FGE=FHD=90°,根據(jù)已知條件得到∠GEF=HDF,進(jìn)而判定EGF≌△DHF(AAS),即可得出FE=FD.也可以過點(diǎn)FFGABG,作FHBCH,作FKACK,再判定EFG≌△DFH(ASA),進(jìn)而得出FE=FD.

(1)FEFD之間的數(shù)量關(guān)系為:FE=FD.

理由:如圖,在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG,

AD是∠BAC的平分線,

∴∠1=2,

AEFAGF

∴△AEF≌△AGF(SAS),

∴∠AFE=AFG,F(xiàn)E=FG,

∵∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC,BCA的平分線,

22+23+B=180°,

∴∠2+3=60°,

又∵∠AFEAFC的外角,

∴∠AFE=CFD=AFG=2+3=60°,

∴∠CFG=180°-60°-60°=60°,

∴∠GFC=DFC,

CFGCFD中,

,

∴△CFG≌△CFD(ASA),

FG=FD,

FE=FD;

(2)結(jié)論FE=FD仍然成立.

如圖,過點(diǎn)F分別作FGAB于點(diǎn)G,F(xiàn)HBC于點(diǎn)H,則∠FGE=FHD=90°,

∵∠B=60°,且AD,CE分別是∠BAC,BCA的平分線,

∴∠2+3=60°,F(xiàn)ABC的內(nèi)心,

∴∠GEF=BAC+3=1+2+3=60°+1,

FABC的內(nèi)心,即F在∠ABC的角平分線上,

FG=FH,

又∵∠HDF=B+1=60°+1,

∴∠GEF=HDF,

EGFDHF中,

∴△EGF≌△DHF(AAS),

FE=FD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,點(diǎn)在第一象限,為等邊三角形,,垂足為點(diǎn),垂足為

1)求OF的長;

2)作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連E,求OE的長.

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【題目】某中學(xué)八年級(jí)(5)班的學(xué)生到野外進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng),為了測量一池塘兩端AB之間的距離,同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了如下兩種方案:

方案1:如圖(1),先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)AB的點(diǎn)C,連接AC并延長AC至點(diǎn)D,連接BC并延長至點(diǎn)E,使DCACECBC,最后量出DE的距離就是AB的長.

方案2:如圖(2),過點(diǎn)BAB的垂線BF,在BF上取CD兩點(diǎn),使BCCD,接著過DBD的垂線DE,交AC的延長線于E,則測出DE的長即為AB間的距離

問:(1)方案1是否可行?并說明理由;

2)方案2是否可行?并說明理由;

3)小明說:在方案2中,并不一定需要BFAB,DEBF,將BFAB,DEBF換成條   也可以.你認(rèn)為小明的說法正確嗎?如果正確的話,請(qǐng)你把小明所說的條件補(bǔ)上.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,-1).

1請(qǐng)以y軸為對(duì)稱軸,畫出與△ABC對(duì)稱的△A1B1C1,并直接寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)

2ABC的面積是

3點(diǎn)Pa+1,b-1與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱a= ,b=

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題背景:如圖1:在四邊形ABCD,AB=AD,BAD=120 ,B=ADC=90°.EF分別是 BC,CD 上的點(diǎn)。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BEEF,FD 之間的數(shù)量關(guān)系。 小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長 FD 到點(diǎn) G,使 DG=BE,連結(jié) AG,先證明ABE≌△ADG, 再證明AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是_________;

探索延伸:如圖2,若四邊形ABCD,AB=AD,B+D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點(diǎn),且∠EAF=BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;

實(shí)際應(yīng)用:如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°A,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°B,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后, 指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá) E,F ,且兩艦艇之間的夾角為70° ,試求此時(shí)兩艦 艇之間的距離。

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【題目】兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,、、在同一條直線上,連接.

1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形,并說明理由(說明:結(jié)論中不得含有圖中未標(biāo)識(shí)的字母);

2垂直嗎?為什么?

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【題目】某校舉辦了一次趣味數(shù)學(xué)競賽,滿分100分,學(xué)生得分均為整數(shù),達(dá)到成績60分及以上為合格,達(dá)到90分及以上為優(yōu)秀,這次競賽中,甲乙兩組學(xué)生成績?nèi)缦拢捉M:30,60,6060,60,60,70,90,90,100 ;乙組:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90.

1)以上成績統(tǒng)計(jì)分析表中a=______分,b=______分,c=_______分;

組別

平均數(shù)

中位數(shù)

方差

合格率

優(yōu)秀率

甲組

68

a

376

30%

乙組

b

c

90%

2)小亮同學(xué)說:這次競賽我得了70分,在我們小組中屬于中游略偏上,觀察上面表格判斷,小亮可能是甲乙哪個(gè)組的學(xué)生?并說明理由

3)計(jì)算乙組的方差和優(yōu)秀率,如果你是該校數(shù)學(xué)競賽的教練員,現(xiàn)在需要你選一組同學(xué)代表學(xué)校參加復(fù)賽,你會(huì)選擇哪一組?并說明理由

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【題目】已知拋物線y=﹣x2+x+2與直線y=x+2相交于點(diǎn)CD,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),它的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)PPEx軸,交CD于點(diǎn)F

(1)求點(diǎn)CD的坐標(biāo);

(2)求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

(3)如果以PC、O、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求m的值.

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CDAB,垂足為H,連接AC,過上一點(diǎn)EEGACCD的延長線于點(diǎn)G,連接AECD于點(diǎn)F,且EG=FG

1)求證:EG是⊙O的切線;

2)延長ABGE的延長線于點(diǎn)M,若AH=2,,求OM的長.

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