Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+k=0
（1）求證：無論k取任何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若x=2是方程x²-（k+1）x+k=0的一個(gè)根，求k的值以及方程的另一個(gè)根．

Answer 1

解：（1）∵△=[-（k+1）]²-4×1×k=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴無論k取任何值，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）∵x=2是方程x²-（k+1）x+k=0的一個(gè)根，
∴2²-（k+1）×2+k=0，
解得：k=2，
設(shè)方程的另一個(gè)根為x₁，則x•x₁=k，
2×x₁=2，
x₁=1，
則方程的另一個(gè)根為1．
分析：（1）根據(jù)根的判別式得出△=（k-1）²≥0，從而證出無論k取任何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）先把x=2代入原方程，求出k的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程的另一個(gè)根．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．