Question

如圖1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，
（1）求證：△BDE為等腰三角形；
（2）若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，AB=6，求線段BC的長(zhǎng)；
（3）在圖2條件下，若∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BE運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出圖3當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由角平分線和平行線的性質(zhì)可得到∠BDE=∠DEB，可證得結(jié)論；
（2）由條件可知BD=DE=DA=3，且DE為△ABC的中位線，可求得BC長(zhǎng)；
（3）分BP=AP、BP=AB、AP=AB三種情況分別討論求t的值即可．

解答：（1）證明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC=∠ABE，
∴BD=ED，
∴△DBE為等腰三角形；        
（2）解：
∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)
∴AD=BD=ED=

1

2

AB=3，
∵DE∥BC，
∴E為AC中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴BC=2DE=6；
（3）在（2）的條件下可知DE=DA，且∠BAC=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∵BC=2DE=AB，
∴△ABC為等邊三角形，
當(dāng)BP=AP時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，則BF=

1

2

AB=6，

在Rt△PBF中，∠PBF=

1

2

∠ABC=30°，
∴BP=2

3

，即t=2

3

，
當(dāng)BP=BA時(shí)，此時(shí)BP=6，即t=6，
當(dāng)AB=AP時(shí)，此時(shí)，BP=2BE=6

3

，即t=6

3

，
綜上可知當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)t的值為2

3

，6，6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理、平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，在第（3）中注意分情況討論．