Question

18．如圖，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函數(shù)y=kx+b反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＜0）圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求一次函數(shù)解析式及m的值；
（2）P是線段AB上的一點，連PC、PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標代入一次函數(shù)解析式中，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；將點B的坐標代入反比例函數(shù)中，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)A、B點的坐標可以找出C、D點的坐標，由此可得出線段AC、BD的長度以及直線AC、BD的函數(shù)解析式，設(shè)點P的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），根據(jù)點到直線的距離以及三角形的面積公式可以得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P點的坐標即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）代入一次函數(shù)解析式中，得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
將B（-1，2）代入反比例函數(shù)解析式中，得2=$\frac{m}{-1}$，
解得：m=-2．
（2）∵A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），且AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D，
∴C（-4，0），D（0，2），
∴AC=$\frac{1}{2}$，BD=1，
直線AC的解析式為x=-4，直線BD的解析式為y=2，
設(shè)點P的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
P點到直線AC的距離為|m-（-4）|，P點到直線BD的距離為|2-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）|．
∵△PCA面積和△PDB面積相等，
∴$\frac{1}{2}$AC•|m-（-4）|=$\frac{1}{2}$BD•|2-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$）|，
解得：m=-$\frac{5}{2}$，
點P的坐標為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、點到直線的距離以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出關(guān)于m的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，（1）用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，這個是考試必考內(nèi)容之一，再日常做題中應(yīng)多加練習；（2）巧妙的利用點到直線的距離代替了高，減少了運算量．