Question

14．交通對城市的發(fā)展發(fā)揮著十分重要的作用，如圖，B市位于A市的正東方向，原來從A市到B市要經(jīng)過C市，C市位于A市北偏東30°方向，位于B市北偏西53°方向，A到C的距離為150千米，現(xiàn)從A、B之間新修了一條直達的高速公路AB．
（1）求新修高速公路AB的長度．
（2）擬定在新修高速公路邊D處建一個加油站，D恰好位于C市的南偏東15°方向，問D到A市距離多遠．
（注：如果運算結果有根號，請保留根號，其中$tan53°=\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥AB，根據(jù)題意知∠ACE=30°，∠ECB=53°，AC=150，解直角三角形即可求得AB長；
（2）作DF⊥AC于F，通過解直角三角形求解；即可得出AD的長．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
由題意可知，∠ACE=30°，∠ECB=53°，
在RT△ACE中，AC=150，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=75$\sqrt{3}$，AE=$\frac{1}{2}$AC=75，
在RT△BCE中，EC=75$\sqrt{3}$，
∴BE=tan53°•CE=$\frac{4}{3}$×75$\sqrt{3}$=100$\sqrt{3}$，
∴AB=AE+BE=75+100$\sqrt{3}$（千米），
故新修高速公路AB的長度為（75+100$\sqrt{3}$）千米；
（2）作DF⊥AC于F，
∵∠ACE=30°，∠DCE=15°
∴∠ACD=45°，∠A=60°，
∴∠CDF=45°，
∴ACD=∠CDF，
∴CF=DF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，CF=DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴$\frac{1}{2}$AD+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=150，
∴AD=$150\sqrt{3}-150$．
所以，D到A市距離為（150$\sqrt{3}$-150）千米．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形的性質求解是解答此題的關鍵．