Question

閱讀與理解
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)τ變換得到點(diǎn)P′（x′，y′），該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b為常數(shù)）．
例如，當(dāng)a=1，且b=1時(shí)，τ（-2，3）=（1×（-2）+1×3，1×（-2）-1×3）=（1，-5）．
（1）當(dāng)a=1，且b=-2時(shí)，τ（0，1）=

 

；
（2）若τ（1，2）=（0，-2），則a=

 

，b=

 

；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是直線y=2x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)變換τ得到點(diǎn)P′（x′，y′）．若點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求a和b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，代入a，b的值，可得答案；
（2）根據(jù)該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

，可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得τ（x，y）=（-x，-y），根據(jù)點(diǎn)P的位置，可得P′點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)τ（x，y）=（x′，y′），可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，且b=-2時(shí)，τ（0，1）=（1×0+（-2）×1，1×0-（-2）×1）=（-2，2），
故答案為：（-2，2）；
（2）τ（1，2）=（a×1+2b，a×1-2b）=（0，-2），

a+2b=0 a-2b=-2

，解得

a=-1 b= 1 2

．
故答案為：a=-1，b=

1

2

；
（3）∵點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)變換τ得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′（x′，y′）與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴τ（x，y）=（-x，-y）．
∵點(diǎn)P（x，y）在直線y=2x上，
∴τ（x，2x）=（-x，-2x），

-x=ax+2bx -2x=ax-2bx

即 

(-1-a-2b)x=0 (-2-a+2b)x=0

．
∵x為任意的實(shí)數(shù)，
∴

-1-a-2b=0 -2-a+2b=0

，解得

a=- 3 2 b= 1 4

∴a=-

3

2

，b=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過(guò)τ變換得到點(diǎn)P′（x′，y′），該變換記為τ（x，y）=（x′，y′），其中

x′=ax+by y′=ax-by

（a，b為常數(shù)）．