Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-3，0)，其對稱軸為直線x=-1，有下列結(jié)論：①abc<0；②a-b-2c>0；③關于的方程ax2+(b-m)x+c=m有兩個不相等的實數(shù)根；④若，是拋物線上兩點，且，則實數(shù)的取值范圍是.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸、及與y軸的交點位置可對①進行判斷；根據(jù)對稱軸和拋物線與x的一個交點（-3，0）可得另一個交點坐標為（1，0），可知=-3，即c=-3a，根據(jù)對稱軸方程可得b=2a，代入a-b-2c，根據(jù)a的符號即可對②進行判斷；根據(jù)b2-4ac>0，b=2a，判斷方程ax2+(b-m)x+c=m的判別式的符號即可對③進行判斷；把P、Q兩點坐標代入拋物線解析式，根據(jù)y1>y2列出不等式，根據(jù)c=-3a，b=2a解不等式求出m的取值范圍即可對④進行判斷.

∵拋物線開口向上，與y軸交點在y軸負半軸，

∴a>0，c<0，

∵對稱軸x==-1<0,

∴b>0，b=2a，

∴abc<0，故①正確，

∵對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點為A（-3，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），

∴=-3，即c=-3a，

∴a-b-2c=a-2a+6a=5a>0，故②正確，

方程ax2+(b-m)x+c=m的判別式為△=(b-m)2-4a(c-m)=b2-4ac+m2-2m(b-2a)

∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac>0,

∵b=2a，

∴△= b2-4ac+m2>0，

∴方程ax2+(b-m)x+c=m有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確，

∵P（-5，y1）、Q(m，y2)是拋物線上兩點，

∴y1=25a-5b+c，y2=am2+bm+c，

∵y1>y2，

∴25a-5b>am2+bm，

∵b=2a，

∴25a-10a>am2+2am，

∵a>0，

∴m2+2m-15<0，

解得：-5<m<3，故④正確，

綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④，共4個，

故選D.