Question

如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，
（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？
（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）PF、PG與PH，3條線段相等，理由為：因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根據(jù)角平分線定理得到PF=PH，同理BE為∠ABC的平分線，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG=PH，等量代換即可得證；
（2）PE=PD，理由為：過(guò)P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，得到∠PDG=∠C+∠CAD，又∠CAB=30°，AD為∠CAB的平分線得到∠CAD=

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∠CAB，求出∠PDG的度數(shù)，同理∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，即可求出∠PEF的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩角相等，再由垂直得到一對(duì)直角相等，由第一問得到PF=PG，根據(jù)“AAS”即可得到三角形PEF與三角形PDG全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答：解：（1）PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；

（2）PE=PD．
證明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=

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∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=

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∠ABC=45°，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，
則∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+

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∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+

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∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由第一問得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)．遇到角平分線常常經(jīng)過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線，得到兩垂線段的長(zhǎng)相等，此道題的兩問都是先實(shí)驗(yàn)猜想，再探索證明，其目的是考查學(xué)生提出問題，解決問題的能力，這類題是近幾年中考試題的熱點(diǎn)試題．