Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點(diǎn)，且BE=BF，過點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M．
（1）求證：∠BFC=∠BEA；
（2）求證：AM=BG+GM．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可證出；
（2）連接DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共邊，所以△ABG和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，BG=DG，對(duì)應(yīng)角相等∠2=∠3，因?yàn)锽G⊥AE，所以∠BAE+∠2=90°，而∠BAE+∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根據(jù)GM⊥CF和（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，所以DGM三點(diǎn)共線，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM．
解答：證明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；

（2）連接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三點(diǎn)共線，
∵∠3=∠4（已證），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，主要考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形全等的性質(zhì)，第二問中，證明三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．