Question

14．若△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數(shù)根，當k=3或4時，△ABC是等腰三角形；當k=2時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）此題要分兩種情況進行討論，若AB=BC=5時，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC時，則△=0，列出關(guān)于k的方程，解出k的值即可；
（2）若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則根據(jù)勾股定理，AB²+AC²=25，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得k的值即可．

解答 解：（1）因為△=b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
若AB=BC=5時，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的實數(shù)根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
∵無論k取何值，△＞0，
∴AB≠AC，故k只能取3或4；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
則AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或k=-5．
根據(jù)三角形的邊長必須是正數(shù)，因而兩根的和2k+3＞0且兩根的積3k+2＞0，解得k＞-$\frac{2}{3}$
∴k=2．
故答案為：3或4；2．

點評 本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系是：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數(shù)這一條件