Question

設a、b、c為三個不同的實數，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一個相同的實數根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一個相同的實數根，試求a+b+c的值．

Answer 1

設x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，兩式相減，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，
同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），
∵x₂=

1

x1

，
∴

1

x1

是第一個方程的根，
∵x₁與

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的兩根，
∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，
因此兩式相減有（a-1）（x₂-1）=0，
當a=1時，這兩個方程無實根，
故x₂=1，從而x₁=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．