Question

18．如圖，點(diǎn)P是直線l：y=-2x-2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線y=x²于A、B兩點(diǎn)，試證明：對于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA=AB成立．

Answer 1

分析 首先設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用根的判別式求出，無論a為何值時，關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出答案．

解答 證明：設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如圖所示，

分別過點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵點(diǎn)B在拋物線y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴無論a為何值時，關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
即對于任意給定的點(diǎn)P，拋物線上總能找到滿足條件的點(diǎn)A，使得PA=AB成立．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線、一元二次方程等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確表示出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．