Question

小芳想在邊長為16cm的等邊三角形中剪下一個(gè)最大的矩形，她是這樣想的，將等邊△ABC沿高作AD對(duì)折，使AB與AC邊重合，在AC上找一個(gè)點(diǎn)E作EF⊥DC、EG⊥AD，交DC、AD于F、G，設(shè)AE=x，截下GE、EF兩邊得到的矩形面積最大值為y，請(qǐng)問x為多少時(shí)，y取最大值？最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AD，EG=

1

2

x，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比求出GD，然后根據(jù)矩形的面積公式列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：∵等邊△ABC的邊長為16cm，
∴AD=

3

2

×16=8

3

cm，EG=

1

2

x，
∵EG⊥AD，
∴△AEG∽△ADC，
∴

AG

AD

=

EG

CD

，
即

8 3 -GD

8 3

=

1 2 x

8

，
解得GD=8

3

-

3

2

x，
所以，y=（8

3

-

3

2

x）•（2•

1

2

x），
=-

3

2

（x-8）²+32

3

，
所以，x=8時(shí)，y_最大=32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，翻折的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．