Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的圓的切線交x軸于點(diǎn)D．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線CD的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)E、F分別是線段AB、AD上的兩個動點(diǎn)，且EF平分四邊形ABCD的周長．若F是OD中點(diǎn)，求BE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AC，作BH⊥OA于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△OBH中計算出OH=

1

2

OB=1，BH=

3

OH=

3

，；在Rt△OAC中計算出OC=

3

3

OA=

2 3

3

，然后寫出B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由于∠AOC=90°，根據(jù)圓周角定理的推論得AC為△OAB的外接圓⊙O′的直徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)由CD與⊙O′相切得∠ACD=90°，則∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，可計算出OD=

3

3

OC=

2

3

，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，0），然后利用待定系數(shù)法求直線DC的解析式；
（3）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△OCD中計算出CD=2OD=

4

3

，由于∠OAC=∠BAC=30°，則BC=OC=

2 3

3

，而FD=OF=

1

3

，所以當(dāng)EF平分四邊形ABCD的周長時有DF+CD+BC+BE=AE+AO+OF，而AE=AB-BE=2-BE，即有

1

3

+

4

3

+

2 3

3

+BE=2-BE+2+

1

3

，然后解方程即可得到BE的長．

解答：解：（1）連接AC，作BH⊥OA于H，如圖，
∵△OAB為正三角形，點(diǎn)A（2，0），
∴OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，
∴∠OBH=30°，
在Rt△OBH中，OH=

1

2

OB=1，
BH=

3

OH=

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

）；
∵∠ACO=∠ABO=60°，
∴∠OAC=30°，
在Rt△OAC中，OC=

3

3

OA=

2 3

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

2 3

3

）；
（2）∵∠AOC=90°，
∴AC為△OAB的外接圓⊙O′的直徑，
∵CD與⊙O′相切，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=

3

3

OC=

3

3

×

2 3

3

=

2

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，0），
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，
把C（0，

2 3

3

）、D（-

2

3

，0）代入得

b= 2 3 3 - 2 3 k+b=0

，解得

k= 3 b= 2 3 3

，
∴直線CD的解析式為y=

3

x+

2 3

3

；
（3）在Rt△OCD中，OD=

2

3

，
∴CD=2OD=

4

3

，
∵∠OAC=30°，∠OAB=60°，
∴∠OAC=∠BAC，
∴BC=OC=

2 3

3

，
∵F點(diǎn)OD的中點(diǎn)，
∴FD=OF=

1

3

，
∵EF平分四邊形ABCD的周長，
∴DF+CD+BC+BE=AE+AO+OF，
而AE=AB-BE=2-BE，
∴

1

3

+

4

3

+

2 3

3

+BE=2-BE+2+

1

3

，
∴BE=

4- 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；會利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計算．