Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知S_△ABO=8，OA=OB，BC=12，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，6）．
（1）求△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；                                 
（2）連接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面積；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•OA²=8，解得OA=4，則OB=OA=4，OC=BC-OB=8，然后根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x軸于H，如圖1，利用S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOHP-S_△PBH求解；
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y軸于H，如圖2，利用S_△PAB=S_梯形OHPB-S_△PAH-S_△OAB求解；
（3）先計(jì)算出S_△ABC=24，再根據(jù)（2）中的分類得到2a-4=24或4-2a=24，然后分別求出a的值，從而確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵S_△ABO=

1

2

•OA•OB，
而OA=OB，
∴

1

2

•OA²=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=12-4=8，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x軸于H，如圖1，
S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOHP-S_△PBH=8+

4+6

2

•a-

1

2

•6•（a+4）=2a-4；
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y軸于H，如圖2，
S_△PAB=S_梯形OHPB-S_△PAH-S_△OAB=

4-a

2

•6-

1

2

•（6-4）•a-8=4-2a；
（3）存在．
S_△ABC=

1

2

•4•12=24，
當(dāng)P（a，6）在第一象限，則2a-4=24，解得a=14，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，6）；
當(dāng)P（a，6）在第二象限，則4-2a=24，解得a=-10，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，6），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，6）或（14，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系；記住三角形面積公式．