Question

如圖9, 已知拋物線與軸交于A (－4，0) 和B(1，0)兩點，與軸交于C點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)E是線段AB上的動點，作EF//AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時，求E點的坐標(biāo);

（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）(,0) （3）（－2，－3）

【解析】解：（1）由二次函數(shù)與軸交于、兩點可得：

　　解得：　 

故所求二次函數(shù)的解析式為．      

（2）∵S_△CEF=2 S_△BEF, ∴       ∵EF//AC, ∴,

       ∴△BEF～△BAC,                         

∴得      

故E點的坐標(biāo)為(,0). 

 

　　（3）解法一：由拋物線與軸的交點為，則點的坐標(biāo)為（0，－2）．若設(shè)直線的解析式為，則有　解得：   故直線的解析式為．               

若設(shè)點的坐標(biāo)為，又點是過點所作軸的平行線與直線的交點，則點的坐標(biāo)為（．則有：  ＝

＝即當(dāng)時，線段取大值，此時點的坐標(biāo)為（－2，－3）

解法二：延長交軸于點，則．要使線段最長，則只須△的面積取大值時即可.                           

設(shè)點坐標(biāo)為（，則有: 

      ＝

　    ＝

             ＝   

＝

＝  ＝－

即時，△的面積取大值，此時線段最長，則點坐標(biāo)為（－2，－3）

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點的坐標(biāo)，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點坐標(biāo)；

（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點橫坐標(biāo)為m，用m表示出P、Q的縱坐標(biāo)，然后可得出PQ的長與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標(biāo)．