Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂．且|x₁-x₂|=2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)△≥0時，方程有兩個實數(shù)根，所以只需證明△≥0即可；
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，首先將|x₁-x₂|=2，變形得出兩根之和與兩根之差的形式，結(jié)合x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，求出即可．

解答：解：（1）①當(dāng)m=0時，原方程為x-2=0，
解得：x=2，
所以方程有實數(shù)根；
②當(dāng)m≠0時，
∵△=b²-4ac
=[-（3m-1）]²-4m（2m-2），
=（3m-1）²-8m²+8m，
=9m²-6m+1-8m²+8m，
=m²+2m+1，
=（m+1）²；
∴△=（m+1）²≥0，
∴方程有實數(shù)根；
綜上可知無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；

（2）∵一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂．
|x₁-x₂|=2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

3m-1

m

，x₁x₂=

c

a

=

2m-2

m

；
∴（x₁-x₂）²=4，
∴x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-4x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（

3m-1

m

）²-4×

2m-2

m

=4，
∴整理得：-3m²+2m-1=0，
解得：m₁=1，m₂=-

1

3

，
∴一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的兩個實數(shù)根分別為
x₁，x₂，且|x₁-x₂|=

5

3

，m的值為1或-

1

3

．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，將|x₁-x₂|=2，正確的平方，得出兩根之和與之差形式是解決問題的關(guān)鍵．