Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在直線x=2上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到直線AD的距離d等于點(diǎn)P到x軸的距離時(shí)，求d得值；
（3）如圖2，直線AC：y=-x+m經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C．探究：在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得S_△CDA=2S_△ACM？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接算出a，b即可，配成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過P作PM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)直線AD與直線x=2交于點(diǎn)G，將PG用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示；分兩種情況討論：①若點(diǎn)P在第一象限，則PG=6-d；②若點(diǎn)P在第四象限，則PG=6+d．分別算出d的值．
（3）要使得S_△CDA=2S_△ACM，則只需M點(diǎn)到直線AC的距離是點(diǎn)D到直線AC的距離的一半即可，過點(diǎn)D作DE∥AC，交y軸于點(diǎn)E，過EC的中點(diǎn)F且平行于AC的直線與拋拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，聯(lián)立方程組解之即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
（2）如圖，設(shè)P（2，y_P），過P作PM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)直線AD與直線x=2交于點(diǎn)G，

則PM=d=|y_P|，
直線AD的解析式為y=2x+2，
∴G（2，6），
∴PG=6-y_P，
∵$sin∠AGP=\frac{AN}{AG}=\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴$\frac{PM}{PG}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴PG=$\sqrt{5}$|y_P|=$\sqrt{5}$d，
①若點(diǎn)P在第一象限，則PG=6-d，
∴$\sqrt{5}$d=6-d，∴d=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，
②若點(diǎn)P在第四象限，則PG=6+d，
∴$\sqrt{5}$d=6+d，
∴d=$\frac{3\sqrt{5}+3}{2}$，
（3）∵直線AC過點(diǎn)A，所以可求得直線AC：y=-x-1．
過點(diǎn)D作DE∥AC，交y軸于點(diǎn)E，如圖，可求得直線DE：y=-x+5．

∴E（0，5），
∴EC的中點(diǎn)F（0，2）．
∴過點(diǎn)F平行于AC的直線為y=-x+2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
∴M（$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、特殊面積關(guān)系的存在性問題、解二元二次方程組等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．方程思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵所在．