Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′剛好在x軸上，則滿足條件的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-1，0）或（9，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

Answer 1

分析 首先求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)求出OC的長(zhǎng)度，分點(diǎn)B′在x軸的正半軸與負(fù)半軸兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論．

解答 解：過(guò)C作CD⊥AB于D，如圖1，
對(duì)于直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵當(dāng)x=0，得y=3，當(dāng)y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐標(biāo)平面沿直線AC折疊，使點(diǎn)B剛好落在x軸上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，則BC=3-n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC²+BD²=BC²，
∴n²+1²=（3-n）²，解得n=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$）．
∵OB′=DB=1，
∴B′（-1，0）；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′落在x軸的正半軸時(shí)，此時(shí)AB′=AB=5，
∵A（4，0），
∴OB′=4+5=9，
∴B′（9，0）．
設(shè)直線BB′的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ 9k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ k=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
∴直線BB′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3．
設(shè)直線AC的解析式為y=3x+d，
∵A（4，0），
∴d=-12，
∴直線AC的解析式為y=3x-12，
∴C（0，-12）．
故答案為：（-1，0）或（9，0）；（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、翻折變換的性質(zhì)等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論．