Question

9．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，下列結(jié)論：
①abc＞0；②2a+b=0；③當m≠1時，a+b＞am²+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，則x₁+x₂=2；⑥OA•OB=$\frac{c}{a}$；
其中正確的有（　�。�

• A． 3個
• B． 2個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線開口方向得a＜0，由拋物線對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=1，得到b=-2a＞0，即2a+b=0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，所以abc＜0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當x=1時，函數(shù)有最大值a+b+c，則當m≠1時，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm；根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在（-1，0）的右側(cè)，則當x=-1時，y＜0，所以a-b+c＜0；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂先移項，再分解因式得到（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，而x₁≠x₂，則a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-$\frac{a}$，然后把b=-2a代入計算得到x₁+x₂=2；設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），根據(jù)拋物線和方程的關(guān)系得出x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求得OA•OB=-x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，即2a+b=0，所以②正確；
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵拋物線對稱軸為直線x=1，
∴函數(shù)的最大值為a+b+c，
∴當m≠1時，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm，所以③正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側(cè)，而對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（-1，0）的右側(cè)
∴當x=-1時，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④錯誤；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂=0，
∴a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）=0，
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，
而x₁≠x₂，
∴a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-$\frac{a}$，
∵b=-2a，
∴x₁+x₂=2，所以⑤正確；
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA•OB=-x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$，所以⑥錯誤．
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒攁＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．