Question

如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60゜得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在BC上，求AP的長．

Answer 1

分析：先計(jì)算出OC=6，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD=OP，∠POD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角定義得∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，利用等量代換可得∠2=∠3，然后根據(jù)“AAS”判斷△AOP≌△CDO，則AP=CO=6．

解答：解：∵AC=9，AO=3，
∴OC=6，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵線段OP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60゜得到線段OD，要使點(diǎn)D恰好落在BC上，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，
∴∠1+∠2=120°，∠1+∠3=120°，
∴∠2=∠3，
在△AOP和△CDO中

∠A=∠C ∠2=∠3 OP=OD

，
∴△AOP≌△CDO，
∴AP=CO=6．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．